概率基础：术语与计算 - 掌握概率核心概念与计算方法
概率（Probability）：描述事件发生的可能性，取值范围为 \( 0 \)（不可能）到 \( 1 \)（必然）。
实验（Experiment）：可重复的过程，产生多个结果。
事件（Event）：一个或多个结果的集合。
样本空间（Sample Space）：所有可能结果的集合。
当结果等可能时，事件的概率为：
\[P(\text{事件}) = \frac{\text{事件包含的结果数}}{\text{样本空间的总结果数}}\]
关键特点：
用于直观展示两个实验（如双转盘、双骰子）的所有可能结果，方便计算复合事件的概率。
绘制方法：以第一个实验的结果为行，第二个实验的结果为列，形成矩阵表格。
对于分组频率数据，通过频率占比估计概率；若涉及区间内的具体值，需假设数据在组内均匀分布，并通过插值法估算符合条件的频数。
插值公式：\(\text{估算频数} = \text{组频数} \times \frac{\text{目标区间长度}}{\text{组宽}}\)
Two fair spinners each have four sectors numbered 1 to 4. The two spinners are spun together and the sum of the numbers indicated on each spinner is recorded.
Find the probability of the spinners indicating a sum of:
a) exactly 5
b) more than 5.
步骤1：确定样本空间
样本空间总结果数：\( 4 \times 4 = 16 \)（两个转盘的结果等可能）
步骤2：计算a) 和为5的概率
和为5的结果有：\( (1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1) \)，共4种
概率：\( P(\text{和为5}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25 \)
步骤3：计算b) 和大于5的概率
和大于5的结果有：\( (2,4)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4) \)，共6种
概率：\( P(\text{和大于5}) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0.375 \)
The table shows the times taken, in minutes, for a group of students to complete a number puzzle.
| Time, \( t \) (min) | \( 5 \leq t < 7 \) | \( 7 \leq t < 9 \) | \( 9 \leq t < 11 \) | \( 11 \leq t < 13 \) | \( 13 \leq t < 15 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| Frequency | 6 | 13 | 12 | 5 | 4 |
Find the probability that a randomly selected student finished the number puzzle:
a) in under 9 minutes
b) in over 10.5 minutes.
步骤1：计算总学生数
总学生数：\( 6 + 13 + 12 + 5 + 4 = 40 \)
步骤2：计算a) 9分钟内完成的概率
9分钟内完成的学生数：\( 6 + 13 = 19 \)
概率：\( P(\text{9分钟内完成}) = \frac{19}{40} = 0.475 \)
步骤3：计算b) 10.5分钟以上完成的概率
10.5分钟以上完成的学生数：
概率：\( P(\text{10.5分钟以上完成}) = \frac{18}{40} = \frac{9}{20} = 0.45 \)
当投掷两个六面骰子时，样本空间图如下：
| 骰子1 \ 骰子2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
应用示例：